Решение ВПР 2027 по математике, 10 класс

Решение ВПР 2027 по математике, 10 класс — демоверсия

Решение ВПР 2027 по математике, 10 класс — демоверсия

На этой странице опубликованы решения заданий демонстрационного варианта ВПР 2027 по математике для 10 класса. В разборе показаны основные этапы вычислений и приведены пояснения к заданиям по алгебре, геометрии, теории вероятностей и статистике.

Перед просмотром готовых решений рекомендуется самостоятельно выполнить работу. После этого материал можно использовать для проверки результатов, анализа ошибок и повторения сложных тем.

Демоверсия ВПР 2027 по математике

Скачать задания и ответы: ВПР 2027 по математике, 10 класс — демонстрационный вариант

Структура проверочной работы

Работа включает 17 заданий и состоит из двух частей. На её выполнение отводятся два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.

Для заданий 2, 11, 12 и 13 в демоверсии приведено по несколько примеров. В настоящей проверочной работе на каждой из этих позиций будет только одно задание.

Решения заданий

Часть 1. Алгебра

Задание 1. Проценты

Ответ: 28 %.

Решение: Футболом интересуются 40 % жителей города. Финальный матч посмотрели 70 % от этой группы.

40 % · 0,7 = 28 %.

Следовательно, матч смотрели 28 % всех горожан.

Задание 2

Первый вариант

Ответ: 3.

Решение:

Дано выражение:

a−2 / (⁴√a7 · a−4).

Запишем корень в виде степени:

⁴√a7 = a7/4.

Знаменатель:

a7/4 · a−4 = a−9/4.

Тогда:

a−2 : a−9/4 = a1/4.

При a = 81:

811/4 = 3.

Второй вариант

Ответ: 4.

Решение:

a−8/3 · a5 / a2 = a−8/3 + 5 − 2.

−8/3 + 3 = 1/3.

Получаем:

a1/3.

При a = 64:

∛64 = 4.

Задание 3. Тригонометрия

Ответ: 1.

Решение:

cos(−60°) = cos 60° = 1/2.

945° = 720° + 225°, поэтому:

sin 945° = sin 225° = −√2/2.

Следовательно:

sin²945° = 1/2.

1/2 + 1/2 = 1.

Задание 4. Геометрическая прогрессия

Ответ: 32.

Решение: Первый член прогрессии равен 16, а знаменатель:

q = 8/16 = 1/2.

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

S = b1/(1 − q).

S = 16/(1 − 1/2) = 32.

Задание 5. Пересечение графиков

Ответ: −16.

Решение: По рисунку абсцисса точки B равна −7.

Точка лежит на графике линейной функции:

f(x) = 3x + 5.

Подставим x = −7:

f(−7) = 3 · (−7) + 5 = −16.

Задание 6. Нахождение тангенса

Ответ: −0,75.

Решение:

sin²α = 1 − cos²α.

sin²α = 1 − 0,64 = 0,36.

Так как π/2 < α < π, угол находится во второй четверти, где синус положителен:

sin α = 0,6.

tg α = 0,6/(−0,8) = −0,75.

Задание 7. Тригонометрическое уравнение

Ответ:

1) x = π/2 + πn или x = 2πn, где n ∈ Z;

2) −2π; −3π/2; −π/2.

Решение:

cos²x = cos x.

Перенесём правую часть влево:

cos²x − cos x = 0.

Вынесем общий множитель:

cos x(cos x − 1) = 0.

Отсюда:

cos x = 0

или

cos x = 1.

Общие решения:

x = π/2 + πn;

x = 2πn.

На отрезке [−2π; −π/2] находятся корни:

−2π; −3π/2; −π/2.

Задание 8. Рациональное неравенство

Ответ: (−∞; −1/3] ∪ (−1/5; 1].

Решение:

(3x² − 2x − 1)/(5x + 1) ≤ 0.

Разложим числитель:

3x² − 2x − 1 = (3x + 1)(x − 1).

Критические точки:

x = −1/3;

x = −1/5;

x = 1.

При x = −1/5 знаменатель равен нулю, поэтому эту точку исключаем.

По методу интервалов получаем:

x ≤ −1/3

или

−1/5 < x ≤ 1.

Задание 9. Функция с модулями

Ответ: c = 5.

Решение: Рассмотрим функцию:

f(x) = ||x| − 3| + 2.

Её график имеет минимумы в точках:

(−3; 2) и (3; 2).

При x = 0:

f(0) = 5.

Горизонтальная прямая y = c пересекает график ровно в трёх точках только при:

c = 5.

Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика

Задание 10. Углы равнобедренного треугольника

Ответ: 69°.

Решение: Внешний угол при вершине B равен 138°.

Внутренний угол B:

180° − 138° = 42°.

Так как AB = BC, углы A и C равны.

∠C = (180° − 42°)/2 = 69°.

Задание 11

Первый вариант. Прямоугольный треугольник

Ответ: √19.

Решение: Угол AEB равен 120°, поэтому смежный с ним угол AEC:

∠AEC = 60°.

В прямоугольном треугольнике ACE:

AC = √3.

tg 60° = AC/CE.

√3 = √3/CE.

CE = 1.

Тогда:

CB = CE + EB = 1 + 3 = 4.

По теореме Пифагора:

AB = √(AC² + CB²) = √(3 + 16) = √19.

Второй вариант. Ромб с вписанной окружностью

Ответ: 80.

Решение: Радиус вписанной окружности равен:

OE = 4.

По условию DE = 2.

В прямоугольном треугольнике OED:

OD = √(4² + 2²) = 2√5.

Используя свойства диагоналей ромба и формулы его площади, получаем вторую полуось диагонали:

AO = 4√5.

Площадь ромба:

S = (2AO · 2OD)/2.

S = 2 · 4√5 · 2√5 = 80.

Задание 12. Перпендикулярные прямые

Первый вариант

Ответ: 14.

Пояснение:

  • SA перпендикулярна AB;
  • SD перпендикулярна CB, так как SD перпендикулярна плоскости основания.

Выбираем номера 1 и 4.

Второй вариант

Ответ: 1345.

Пояснение: Перпендикулярными являются пары:

  • SM и AB;
  • SA и DB;
  • AB и SO;
  • AB и CB.

Задание 13

Первый вариант. Прямоугольный параллелепипед

Ответ: 4√2/13.

Решение: Прямая AC параллельна A1C1, поэтому рассматриваем угол DA1C1.

DA1 = DC1 = √(8² + 105) = 13.

Диагональ квадратной грани:

A1C1 = 8√2.

В равнобедренном треугольнике:

cos ∠DA1C1 = (A1C1/2)/DA1.

cos ∠DA1C1 = 4√2/13.

Второй вариант. Пирамида

Ответ: 6.

Решение: Расстояние от S до плоскости ABC равно SO.

В равностороннем треугольнике со стороной 6:

AO = 6√3/3 = 2√3.

По условию:

SA = 4√3.

Из прямоугольного треугольника SAO:

SO = √(SA² − AO²).

SO = √(48 − 12) = 6.

Задание 14. Красный маркер

Ответ: 0,25.

Решение: Всего маркеров:

15 + 5 = 20.

Красных маркеров — 5.

P = 5/20 = 1/4 = 0,25.

Задание 15. Посещение кружков

Ответ: 3.

Решение: Пусть x учащихся посещают оба кружка.

10 + 18 − x = 25.

x = 28 − 25 = 3.

Задание 16. Условная вероятность

Ответ: 0,2.

Решение: Рассматриваем только случаи, когда при первом броске выпало больше очков, чем при втором.

Количество таких исходов:

5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15.

Сумма равна 7 в трёх подходящих случаях:

  • (6; 1);
  • (5; 2);
  • (4; 3).

Вероятность:

3/15 = 0,2.

Задание 17. Два броска мяча

Ответ: 0,36.

Решение: Баскетболист должен попасть ровно один раз. Возможны два несовместных случая.

Попадание, затем промах

0,4 · (1 − 0,7) = 0,4 · 0,3 = 0,12.

Промах, затем попадание

(1 − 0,4) · 0,4 = 0,6 · 0,4 = 0,24.

Сложим вероятности:

0,12 + 0,24 = 0,36.

Краткие результаты

Задание Результат
1 28
2 3 или 4
3 1
4 32
5 −16
6 −0,75
7 −2π; −3π/2; −π/2
8 (−∞; −1/3] ∪ (−1/5; 1]
9 c = 5
10 69°
11 √19 или 80
12 14 или 1345
13 4√2/13 или 6
14 0,25
15 3
16 0,2
17 0,36

Система оценивания

Максимальный первичный балл за всю работу — 22.

Алгебра

Максимальный балл — 12.

Первичные баллы Отметка
0–2 «2»
3–5 «3»
6–9 «4»
10–12 «5»

Геометрия

Максимальный балл — 5.

Первичные баллы Отметка
0 «2»
1 «3»
2–3 «4»
4–5 «5»

Вероятность и статистика

Максимальный балл — 5.

Первичные баллы Отметка
0 «2»
1 «3»
2–3 «4»
4–5 «5»
➤