Решение ВПР 2027 по математике, 7 класс — углублённый уровень

На этой странице размещены решения заданий демонстрационного варианта ВПР 2027 по математике углублённого уровня для 7 класса. В разборе приведены вычисления, преобразования выражений и необходимые пояснения к задачам по алгебре, геометрии, вероятности и статистике.

Перед просмотром решений желательно самостоятельно выполнить работу. После этого можно сравнить ход рассуждений, проверить результаты и повторить темы, в которых были допущены ошибки.

Демоверсия ВПР 2027 по математике

Скачать задания и ответы: ВПР 2027 по математике, 7 класс, углублённый уровень

Структура работы

Демонстрационный вариант состоит из двух частей и включает 17 заданий. На выполнение работы отводится два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.

Разбор заданий

Часть 1. Алгебра

Задание 1

Ответ: 1/9.

Решение:

Вычислим выражение:

6⁴ / (4² · 9³).

Разложим основания степеней:

6⁴ = (2 · 3)⁴ = 2⁴ · 3⁴;

4² = (2²)² = 2⁴;

9³ = (3²)³ = 3⁶.

После сокращения получаем:

3⁴ / 3⁶ = 1 / 3² = 1/9.

Задание 2

Ответ: 2,6.

Решение:

В числителе применим формулу разности квадратов:

11,6² − 6,4² = (11,6 − 6,4)(11,6 + 6,4).

Получаем:

5,2 · 18.

Знаменатель представим как квадрат суммы:

4,3² + 2 · 4,3 · 1,7 + 1,7² = (4,3 + 1,7)² = 36.

Следовательно:

5,2 · 18 : 36 = 2,6.

Задание 3

Ответ: 2y² − 14y + 9.

Решение:

Раскроем квадрат разности:

(3 − 2y)² = 9 − 12y + 4y².

Раскроем вторые скобки:

−2y(y + 1) = −2y² − 2y.

Приведём подобные слагаемые:

4y² − 2y² − 12y − 2y + 9 = 2y² − 14y + 9.

Задание 4. Средняя скорость автомобиля

Ответ: 35 км/ч.

Решение: По графику автомобиль начал обратный путь в момент t = 2 ч, находясь на расстоянии 70 км от пункта А.

В пункт А он вернулся в момент t = 4 ч.

На обратный путь было затрачено:

4 − 2 = 2 часа.

Средняя скорость:

70 : 2 = 35 км/ч.

Задание 5. Число, кратное 15

Ответ: 987630.

Решение: Для делимости на 15 число должно делиться одновременно на 3 и на 5.

Число 987630 оканчивается цифрой 0, значит, делится на 5.

Сумма его цифр:

9 + 8 + 7 + 6 + 3 + 0 = 33.

Число 33 делится на 3. Все цифры в числе расположены в порядке убывания, а само число является наибольшим из подходящих.

Задание 6. Число учеников в классе

Ответ: 28.

Решение: Обозначим через x число учеников, которые не пришли в понедельник.

Тогда в школу пришли 13x учеников, а всего в классе:

13x + x = 14x.

Во вторник отсутствующих стало x + 2, а пришедших:

14x − x − 2 = 13x − 2.

По условию пришедших в 6 раз больше отсутствующих:

13x − 2 = 6(x + 2).

13x − 2 = 6x + 12.

7x = 14.

x = 2.

Всего учеников:

14 · 2 = 28.

Задание 7. Решение уравнения

Ответ: −12.

Решение:

4x(x + 2) + 3 = 4x² − 3(7 − 2x).

Раскрываем скобки:

4x² + 8x + 3 = 4x² − 21 + 6x.

Сокращаем 4x²:

8x + 3 = 6x − 21.

2x = −24.

x = −12.

Задание 8. Перевёрнутое трёхзначное число

Ответ: 901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991.

Решение: Пусть исходное число записано цифрами a, b и c:

100a + 10b + c.

Число с обратным порядком цифр:

100c + 10b + a.

Составим равенство:

100a + 10b + c − (100c + 10b + a) = 792.

99a − 99c = 792.

99(a − c) = 792.

a − c = 8.

Так как последняя цифра не равна нулю, получаем a = 9 и c = 1. Средняя цифра может быть любой от 0 до 9.

Задание 9. Раствор кислоты

Ответ: в 16 раз.

Решение: Первоначально раствор состоит из 1 кг воды и 4 кг кислоты, то есть его масса равна 5 кг.

После добавления воды кислота составляет 20 % раствора. Масса кислоты остаётся равной 4 кг:

4 : 0,2 = 20 кг.

Значит, масса воды после разбавления:

20 − 4 = 16 кг.

После добавления кислоты её доля стала 80 %, следовательно, вода составляет 20 % конечной массы.

Конечная масса раствора:

16 : 0,2 = 80 кг.

Во сколько раз увеличилась масса:

80 : 5 = 16.

Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика

Задание 10. Внешний угол

Ответ: 104°.

Решение:

Внутренний угол A:

180° − 138° = 42°.

Угол C треугольника:

180° − 42° − 62° = 76°.

Внешний угол при вершине C:

180° − 76° = 104°.

Задание 11. Истинные высказывания

Ответ: 1 и 4.

Пояснение:

• Утверждение 1 верно: существует равнобедренный треугольник с углами 45°, 45° и 90°.
• Утверждение 2 неверно: катеты прямоугольного треугольника не обязательно отличаются в два раза.
• Утверждение 3 неверно: вертикальные углы равны, но их сумма не обязательно равна 180°.
• Утверждение 4 верно по неравенству треугольника.

Задание 12. Медиана и высота

Ответ: 72.

Решение: Обозначим HC = x.

Так как BM = BC, треугольник BMC равнобедренный. Высота BH является также медианой:

MH = HC = x.

Следовательно:

MC = MH + HC = 2x.

BM — медиана треугольника ABC, значит:

AM = MC = 2x.

По условию AH = 54:

AH = AM + MH = 2x + x = 3x.

3x = 54.

x = 18.

AC = AM + MH + HC = 4x = 72.

Задание 13. Углы двух треугольников

Ответ: 58°.

Решение: В треугольнике ABC стороны AB и AC равны, значит:

∠ABC = ∠BCA = 77°.

Угол BAC:

180° − 77° − 77° = 26°.

В треугольнике ADC стороны AC и AD равны:

∠ADC = ∠ACD = 74°.

Угол CAD:

180° − 74° − 74° = 32°.

Так как точки B и D лежат по разные стороны от AC:

∠BAD = 26° + 32° = 58°.

Задание 14. Возраст девочек

Ответ: 2 и 3.

Решение: Из условия получаем:

Таня старше Кати, а Катя старше Даши.

Следовательно, Таня старше Даши. Ксюша не младше Даши, поэтому среди перечисленных девочек нет никого младше Даши.

Задание 15. Диаграммы водохранилищ

Пункт 1

Ответ: 4.

Решение: Общий объём пяти водохранилищ:

32 · 5 = 160 км³.

Самое большое значение равно 57 км³, то есть примерно:

57 : 160 · 100 % ≈ 36 %.

Минимальное значение 23 км³ составляет около 14 %. Указанным характеристикам соответствует диаграмма 4.

Пункт 2

Ответ: около 32 км³.

Решение: Доля Волгоградского водохранилища на четвёртой диаграмме составляет примерно 20 % общего объёма.

160 · 0,2 = 32 км³.

Допустимый диапазон ответа: от 25 до 37 км³.

Задание 16. Рёбра графа

Ответ: 23.

Решение: Найдём сумму степеней всех вершин:

7 · 4 + 6 · 3 = 28 + 18 = 46.

Каждое ребро учитывается в сумме степеней дважды, поэтому:

46 : 2 = 23.

Задание 17. Средняя оценка

Пункт 1

Ответ: 7,96.

Решение:

Сумма баллов первой группы:

20 · 8,2 = 164.

Сумма баллов второй группы:

30 · 7,8 = 234.

Общая сумма:

164 + 234 = 398.

Средняя оценка всех 50 студентов:

398 : 50 = 7,96.

Пункт 2

Ответ: 2 студента.

Решение: Для средней оценки 8 общая сумма баллов должна составлять:

50 · 8 = 400.

Не хватает:

400 − 398 = 2 балла.

Каждый переписавший повысил свой результат на 1 балл, значит, работу переписали два студента.

Краткие результаты

Задание	Результат
1	1/9
2	2,6
3	2y² − 14y + 9
4	35 км/ч
5	987630
6	28
7	−12
8	901, 911, 921, 931, 941, 951, 961, 971, 981, 991
9	В 16 раз
10	104°
11	1 и 4
12	72
13	58°
14	2 и 3
15.1	4
15.2	Около 32 км³
16	23
17.1	7,96
17.2	2

Система оценивания

Максимальный первичный балл за выполнение работы — 24.

Алгебра

Баллы	Отметка
0–2	«2»
3–5	«3»
6–9	«4»
10–12	«5»

Геометрия

Баллы	Отметка
0	«2»
1–2	«3»
3–4	«4»
5–6	«5»

Вероятность и статистика

Баллы	Отметка
0	«2»
1–2	«3»
3–4	«4»
5–6	«5»