Решение ВПР 2027 по математике, 8 класс — демоверсия углублённого уровня

На странице размещён подробный разбор демонстрационного варианта ВПР 2027 по математике углублённого уровня для 8 класса. Для заданий приведены вычисления, преобразования, геометрические рассуждения и пояснения.

Материал лучше использовать после самостоятельного выполнения работы. Это поможет проверить результаты, найти допущенные ошибки и повторить необходимые темы.

Скачать демоверсию ВПР 2027

Задания и ответы: ВПР 2027 по математике, 8 класс, углублённый уровень

Содержание проверочной работы

Работа включает 17 заданий и состоит из двух частей. На выполнение отводится два урока продолжительностью не более 45 минут каждый.

В демонстрационном варианте дано несколько примеров заданий 7 и 11. В реальном варианте на каждой из этих позиций будет только одно задание.

Решения заданий

Часть 1. Алгебра

Задание 1. Выражение с корнями

Ответ: 4.

Решение:

Вычислим:

√32 · √6 / √12.

Объединим выражение под одним корнем:

√(32 · 6 / 12) = √16.

√16 = 4.

Задание 2. Решение квадратного уравнения

Ответ: −4 и 9.

Решение:

x² − 36 = 5x.

Перенесём 5x в левую часть:

x² − 5x − 36 = 0.

Разложим многочлен на множители:

(x − 9)(x + 4) = 0.

Получаем два корня:

x = 9;

x = −4.

Задание 3. Числовая прямая

Ответ: любая точка x между 0 и b.

Решение:

Из первого условия:

x − a > 0, значит, x > a.

Из второго условия:

x − b < 0, значит, x < b.

Так как a² положительно, из условия a²x > 0 следует:

x > 0.

Поэтому точка должна удовлетворять условию:

0 < x < b.

Задание 4. Формула функции по графику

Ответ: y = 2x − 1.

Решение: График пересекает ось y в точке −1, поэтому свободный член равен −1.

Если x увеличивается на 1, значение y увеличивается на 2. Следовательно, коэффициент при x равен 2.

Получаем формулу:

y = 2x − 1.

Задание 5. Рациональное выражение

Ответ: 200.

Решение:

Рассмотрим выражение:

2x/(x − 4) − (2x² − 32)/(x² − 8x + 16).

Разложим числитель и знаменатель второй дроби:

2x² − 32 = 2(x − 4)(x + 4);

x² − 8x + 16 = (x − 4)².

После сокращения:

2x/(x − 4) − 2(x + 4)/(x − 4).

Приведём к одной дроби:

(2x − 2x − 8)/(x − 4) = −8/(x − 4).

Подставим x = 3,96:

−8/(3,96 − 4) = −8/(−0,04) = 200.

Задание 6. Неравенство с дробями

Ответ: x < 33/38.

Решение:

(2x − 3)/5 − (4x − 7)/15 > (8x − 7)/3.

Перенесём всё в левую часть и приведём к знаменателю 15:

[3(2x − 3) − (4x − 7) − 5(8x − 7)]/15 > 0.

Раскроем скобки:

6x − 9 − 4x + 7 − 40x + 35 > 0.

−38x + 33 > 0.

−38x > −33.

При делении на отрицательное число знак меняется:

x < 33/38.

Задание 7

Первый вариант. Биквадратное уравнение

Ответ: 3 − √5; 3 + √5.

Решение:

(x − 3)⁴ − 4(x − 3)² − 5 = 0.

Обозначим:

t = (x − 3)².

Получаем:

t² − 4t − 5 = 0.

(t − 5)(t + 1) = 0.

t = 5 или t = −1.

Значение t = −1 не подходит, поскольку квадрат не может быть отрицательным.

(x − 3)² = 5.

x − 3 = ±√5.

x = 3 − √5 или x = 3 + √5.

Второй вариант. Второй корень уравнения

Ответ: 1 − 5√2/2.

Решение:

Для уравнения

2x² + 3√2x + c = 0

сумма корней по теореме Виета равна:

x₁ + x₂ = −3√2/2.

Первый корень:

x₁ = √2 − 1.

Тогда:

x₂ = −3√2/2 − (√2 − 1).

x₂ = 1 − 5√2/2.

Задание 8. Лодка и плот

Ответ: 30 км/ч.

Решение: Скорость плота равна скорости течения — 3 км/ч.

До встречи плот прошёл 2 км, значит, время движения составило:

2 : 3 = 2/3 часа.

За это время лодка прошла 11 км по течению и 9 км против течения.

Обозначим собственную скорость лодки через x км/ч.

Тогда время движения лодки:

11/(x + 3) + 9/(x − 3).

Составим уравнение:

11/(x + 3) + 9/(x − 3) = 2/3.

После приведения к общему знаменателю:

33(x − 3) + 27(x + 3) = 2(x² − 9).

60x − 18 = 2x² − 18.

2x² − 60x = 0.

2x(x − 30) = 0.

По смыслу задачи подходит значение:

x = 30 км/ч.

Часть 2. Геометрия, вероятность и статистика

Задание 9. Выбор верного утверждения

Ответ: 3.

Пояснение: Параллелограмм, диагонали которого равны, является прямоугольником.

Остальные утверждения неверны: равенство двух сторон не означает, что параллелограмм является ромбом; равные и перпендикулярные диагонали не гарантируют, что произвольный четырёхугольник — квадрат; углы трапеции при меньшем основании не обязательно оба тупые.

Задание 10. Тупой угол ромба

Ответ: 126°.

Решение:

Угол LTH равен 153°.

Смежный с ним угол:

180° − 153° = 27°.

TH перпендикулярен стороне KN, поэтому угол между диагональю и стороной ромба:

90° − 27° = 63°.

Диагональ ромба делит угол пополам:

63° · 2 = 126°.

Задание 11

Первый вариант. Площадь прямоугольного треугольника

Ответ: 240.

Решение:

Один катет равен 16, гипотенуза равна 34.

Второй катет:

√(34² − 16²) = √(1156 − 256) = √900 = 30.

Площадь:

16 · 30 : 2 = 240.

Второй вариант. Площадь трапеции

Ответ: 600.

Решение:

Основания равны 15 и 35, боковая сторона — 26.

Половина разности оснований:

(35 − 15) : 2 = 10.

Найдём высоту:

h = √(26² − 10²) = √576 = 24.

Площадь:

(15 + 35) · 24 : 2 = 600.

Задание 12. Отрезок между биссектрисами

Ответ: 1,2.

Решение: В равнобедренном треугольнике:

AB = BC = 3, AC = 2.

По свойству биссектрисы:

AM/MB = AC/CB = 2/3.

Отсюда:

AM = 6/5, MB = 9/5.

Аналогично:

CL = 6/5, BL = 9/5.

Треугольники BML и BAC подобны.

Коэффициент подобия:

BM/BA = (9/5) : 3 = 3/5.

Следовательно:

LM = AC · 3/5 = 2 · 3/5 = 6/5 = 1,2.

Задание 13. Прямоугольная трапеция

Ответ: 820.

Решение: Высота трапеции равна:

AB = 40.

Проведём перпендикуляр CF к основанию AD.

В прямоугольном треугольнике CFD:

CD = 41, CF = 40.

FD = √(41² − 40²) = 9.

Из свойств биссектрисы и равнобедренного треугольника, возникающего после продолжения основания, получаем:

BC = 16;

AD = 25.

Площадь трапеции:

(25 + 16) · 40 : 2 = 820.

Задание 14. Порядок вероятностей

Ответ: BACD.

Решение:

События соответствуют интервалам:

B — от 2,9 до 3,1 кг;
A — от 2,9 до 3,2 кг;
C — от 2,8 до 3,2 кг;
D — от 2,5 до 3,5 кг.

Чем шире интервал, тем больше вероятность события.

Поэтому:

B < A < C < D.

Задание 15. Вершины графа

Ответ: 8.

Решение: Пусть вершин степени 2 имеется x. Тогда вершин степени 5 тоже x.

Сумма степеней:

2x + 5x = 7x.

В графе 14 рёбер, значит:

7x = 2 · 14.

7x = 28.

x = 4.

Всего вершин:

4 + 4 = 8.

Задание 16. Рассадка за круглым столом

Ответ: 1/3.

Решение: Рядом с Пашей должны сидеть либо две Маши, либо два Саши.

Из четырёх гостей выбрать двух соседей можно шестью способами:

C₄² = 6.

Благоприятных вариантов два:

две Маши;
два Саши.

Вероятность:

2/6 = 1/3.

Задание 17. Вероятность суммы очков

Ответ: 5/18.

Решение: При двух бросках кубика возможно 36 равновероятных исходов.

Сумма не меньше 9 получается:

при сумме 9 — 4 исхода;
при сумме 10 — 3 исхода;
при сумме 11 — 2 исхода;
при сумме 12 — 1 исход.

Всего подходящих исходов:

4 + 3 + 2 + 1 = 10.

Вероятность:

10/36 = 5/18.

Краткие результаты

Задание	Результат
1	4
2	−4 и 9
3	Точка между 0 и b
4	y = 2x − 1
5	200
6	x < 33/38
7	3 − √5; 3 + √5 или 1 − 5√2/2
8	30 км/ч
9	3
10	126°
11	240 или 600
12	1,2
13	820
14	BACD
15	8
16	1/3
17	5/18

Система оценивания

Максимальный первичный балл за всю работу — 23.

Алгебра

Баллы	Отметка
0–2	«2»
3–5	«3»
6–9	«4»
10–11	«5»

Геометрия

Баллы	Отметка
0–1	«2»
2–3	«3»
4–5	«4»
6–7	«5»

Вероятность и статистика

Баллы	Отметка
0	«2»
1	«3»
2–3	«4»
4–5	«5»